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Tengo por sentencia judicial, la obligación de pasar mensualmente una pensión de 250 euros, todos los meses, pero llevo 1 año en el paro, cobrando prestación por desempleo de 740 euros, pero sigo pasando los 250 euros mensuales. Mi pregunta es: ¿si se extingue el cobro de la prestacion por desempleo y solicito la ayuda del gobierno de 400 euros mensuales, podria pedir al juez que bajase o extinguiese por completo el pago de la pension alimenticia, hasta que consiga un nuevo empleo?

Tendría que solicitarlo al juez argumentando estas circunstancias. No creo que le suspendan la pensión de alimentos; tal vez se la rebajen, aunque lo dudo porque lo normal es que no puede estar por debajo de la ya fijada en sentencia. Aunque si nos tenemos al texto del artículo 147 del Código Civil español, sí podría reducirse: "Los alimentos, en los casos a que se refiere el anterior, se reducirán o aumentarán proporcionalmente según el aumento o disminución que sufran las necesidades del alimentista y la fortuna del que hubiere de satisfacerlos".
Y el artículo 146 dice: "La cuantía de los alimentos será proporcionada al caudal o medios de quien los da y a las necesidades de quien los recibe".
Además, la jurisprudencia dice que "la prestación de alimentos tiene las notas propias de una deuda de valor, que como tal autoriza las medidas de protección frente a las alteraciones monetarias, ya que en la deuda alimenticia no debe regir el principio nominalista del dinero".

La pensión alimenticia, normalmente se establece en el 25% del salario, aunque no es una norma establecida legalmente, pero se suele aplicar esto.
Por lo que sé, si el progenitor no custodio ve mermados considerablemente sus ingresos, puede pedir al juez una reducción, cosa que ya podía haber hecho, dadas sus circunstancias. Si además cumple religiosamente, no debería tener problema en que se lo concedan.